In diesem Teil werden einige theoretische Informationen und Formeln
zusammengefasst, welche den Geometrieentwurf, Berechnung der Kraft- und
Leistungsparameter und Festigkeitskontrollen der Evolventenverzahnung betreffen.
Diese Unterlagen wurden in den folgenden Berechnungen angewendet.
Inhalt:
- Geometrie, Ma�e
- Moment,
Leistung, Kr�fte,
Wirkungsgrad
- Planetengetriebe
- Zahnstange
- Spannung und Sicherheit ISO 6336:2006
- Spannung und Sicherheit ANSI/AGMA 2001-D04
Verwendete Formeln (Berechnung der Verzahnungsgeometrie).
Einige der wichtigsten Formeln f�r die Berechnung der Verzahnungsgeometrie
sind unten angef�hrt. In den Formeln werden die Indexe 1 und 2 f�r das Ritzel
und Rad verwendet (dies ist das Paar: Sonnenrad und Planetentr�ger,
beziehungsweise Planetentr�ger und Hohlrad). Im Fall einer Innenverzahnung
(Hohlrad) wird ein negativer Wert der Z�hnezahl des Innenrades und damit auch
ein negativer Wert des Achsabstandes und der Durchmesser verwendet.
Im Fall eines Planetengetriebes sind die einzelnen R�der voneinander
gegenseitig abh�ngig und es ist das Getriebe als Einheit inkl. der
entsprechenden begrenzenden Bedingungen (siehe weiter) zu l�sen.
Parameter des Grundprofils: mn (Modul, DP f�r Fingerberechnung),
a (Eingriffswinkel), ha*, c*, rf* (Parameter
der Bearbeitungsmaschine)
Parameter der Ritzel und Rad: z1, z2 (Z�hnezahl vom Ritzel und Rad), x1,
x2 (Einheitsverschiebung), b
(Schr�gungswinkel am Zahngrundkreis), b (Verzahnungsbreite)
- �bersetzungsverh�ltnis
i = z2 / z1
- Modul
mt = mn /
cos(b)
... Tangentialmodul
- Teilung
p =
p � mn ... Teilung
pt = p /
cos(b)
... Stirnteilung
ptb = pt �
cos(at)
... Grundteilung
- Eingriffswinkel
at
= arctg(tg(a)
/ cos(b))
... Tangentialer Eingriffswinkel
awn
= arcinv(2 � (x1 + x2) /
(z1 + z2) � tg(a)
+ inv(a))
... W�lzeingriffswinkel - normal
awt
= arcinv(2 � (x1 + x2) /
(z1 + z2) � tg(a)
+ inv(at))
... W�lzeingriffswinkel - tangential
- Schr�gungswinkel am Grundkreis
bb
= arcsin(sin(b)
� cos(a))
- Durchmesser
d = z � mt ... Teilkreisdurchmesser
db = d �
cos(at)
... Grundkreisdurchmesser
dw = d � cos(at)
/ cos(awt)
... Walzkreisdurchmesser
da = mn � (z /
cos(b)
+ 2 � (ha* + x - DY)
... Kopfkreisdurchmesser
df = d - hf ... Fu�kreisdurchmesser
- Teilungsachsabstand
a = (z1 + z2)
� mn / (2 � cos(b))
... Teilungsachsabstand
av = a + (x1 + x2) � mn ... Herstellungsachsabstand
aw = a � cos(at)
/ cos(atw)
... Arbeitsachsabstand
DY
= (a - aw) / mn + (x1 + x2) ... Profilverschiebungsfaktor der R�der
-
Eingriffsfaktor
ea
= ((da1^2 - db1^2)^0.5 + (da2^2 - db2^2)^0.5 - 2 � aw � sin(awt))
/ (2 �
p
� cos(at)
/ cos(b))
... Eingriffsfaktor in der Stirnebene
eb
= b / mn /
p
�
sin(b)
... Eingriffsfaktor in der Achsenebene
eg
=
ea
+
eb
...
Totaleingriffsfaktor
Korrekturprinzip, Korrekturanwendungen.
Durch Ann�hern oder Entfernen des Werkzeuges in Hinsicht auf die Radmitte �ndert sich die Form und dadurch auch die Eigenschaften einer Evolventenverzahnung. So wird eine korrigierte Verzahnung, Verschiebungs-Verzahnung gebildet. In der Abbildung ist:
- Herstellungswerkzeug
- hergestelltes Rad
Durch eine Verzahnungskorrektur ist es m�glich:
- einen genauen Achsabstand zu erreichen.
- die Zahnunterschneidung zu verhindern (bei einer kleinen Anzahl der Z�hne kommt es zu einer s. g. �berdeckung, die vor allem den Faktor der Eingriffsdauer und auch die Zahntragf�higkeit herabsetzt)
- Verhindern einer spitzen Form der Z�hne
- Verhindern der Entstehung der Herstellungs- und Betriebsinterferenzen der Z�hne
- den Eingriffsfaktor zu verbessern (einen Eingriffsfaktor, der > 1, zu erreichen)
- Ger�uschpegel und Vibrationen der Verzahnung herabzusetzen
- Getriebeeffizienz zu verbessern
- Die Tragf�higkeit der Verzahnung zu verbessern (Ber�hrung, Biegung, Verreibung, Verschlei�)
Beispiel eines Zahnprofils (z=10, a=20;b=0) wo es bei X=0 zur Unterschneidung kommt und der Wert x=0.7 zu einem spitzen Zahn f�hrt.
Tipp: Ausf�hrlichere Informationen �ber Korrekturm�glichkeiten und Korrekturweisen empfehlen wir in der Fachliteratur zu suchen.
Empfohlene Werte � Optimierung.
Bei einer Festlegung der Korrekturwerte sind die funktionellen Anforderungen auf die Verzahnung zuerst zu erf�llen, welche zu den Wichtigsten geh�ren
- Der verlangte Achsabstand (durch Summe der beiden Korrekturen gegeben)
- Ausschlie�ung der Zahnunterschneidung
- Ausschlie�ung der spitzen Form der Z�hne
Zur Sicherung der funktionellen Anforderungen ist es dann m�glich, weiter die
H�henkorrekturen zwecks der Verbesserung eines oder mehreren wichtigen
Verzahnungsparameter zu optimieren. Von den oft verwendeten Optimierungsmethoden
ist es m�glich, hier die Verzahnung auf den Ausgleich der Schl�pfe [5.14 - 5.17]
und auf Minimierung der Schl�pfe
[5.18]
zu optimieren. F�r weitere
Optimierungsprozesse gibt es in der Literatur eine Reihe von Empfehlungen und
vor allem so genannte Diagramme (Tabellen) der Grenzkorrekturen, die einen
anschaulichen Hinblick auf die M�glichkeiten und Wahlen der Korrekturen bieten.
Moment,
Leistung, Zahnkr�fte
Drehmoment
Mk [Nm] = Pw * 9550 / n .............. (SI units)
T [lb.in] =
PP *
63000 * / n ........... (Imperial)
Pw, PP ...
Leistung
[kW, HP]
n ...........
Drehzahl
[/min]
Leistung
(Stirnverzahnung - Zahnstange)
Pw = Ft * v / 1000
Ft ... Tangentialkraft
v .... rychlost ozuben�ho hřebenu
Zahnkr�fte
Berechnung:
Tangentialkraft
Ft = Mk * 2000 / dw
dw ... Walzkreisdurchmesser
MK ...
Drehmoment
Axialkraft
Fa = Ft * tan(b) / cos(awt)
b ... Schr�gungswinkel am
Zahngrundkreis
awt ... W�lzeingriffswinkel
- tangential
Radialkraft
Fr = Ft *
tan(awt)
Normalkraft
Fn = (Ft2 + Fa2 + Fr2)0.5
Biegemoment
Mo = Fa * (dw / 2000)
Wirkungsgrad und Verluste.
Die Verluste im Planetengetriebe k�nnen in Verluste durch Leerlauf und
Verluste durch Belastung aufgeteilt werden. Die Verluste durch Leerlauf (durch
Schmierung, unbelasteter Eingriff, Lager) sind sehr schwierig analytisch zu
bestimmen und sind gew�hnlich wesentlich niedriger als die Verluste durch
Belastung. Die Verluste bei Belastung entstehen bei der Leistungs�bertragung und
sind:
Verluste in der Verzahnung
Es ist ungef�hr m�glich, den Verlustkoeffizienten nach der Formel
auszudr�cken:
Geradverzahnung: zz = 0.5 � f �
p
� e � (1/z1 +- 1/z2)
Schr�gverzahnung: zz
= 0.25 / cos(b) � f �
p � e �
(1/z1 +- 1/z2)
wobei:
z1, z2 � Z�hnezahl
f � Reibungskoeffizient (0.04 - 0.08)
e � Eingriffskoeffizient
b � Schr�gungswinkel am Zahngrundkreis
Zeichen (+) f�r Au�enverzahnung, (-) f�r Innenverzahnung.
Verluste in den Lagern
Die Verlustleistung kann aus der Beziehung bestimmt werden:
PVL = w � F � f � r
wobei:
w � Drehgeschwindigkeit
F � resultierende Lagerbelastung (Planetentr�ger, Fliehkraft)
f � Reibungskoeffizient (0.001 - 0.005)
r � mittlerer Lagerdurchmesser
Bemerkung: Der Reibungskoeffizient (Verzahnung und Lager) wird in der
Berechnung anhand des gew�hlten Genauigkeitsgrad (Verzahnungsrauhigkeit) und des
eingesetzten Schmierstoffes abgesch�tzt.
F�r die Berechnung der Verluste (des Wirkungsgrads) des Planetenradsatzes
verwenden wir die Verluste im Vergleichsgetriebe (abgestellter Planetentr�ger),
wobei:
wobei:
zz0/z1 � Verlustkoeffizient Sonnenrad � Planetenrad
zz1/z2 � Verlustkoeffizient Planetenrad � Hohlrad
z0,z2 � Z�hnezahl des Sonnen- und Hohlrades
F�r die Einzelf�lle des Leistungsflusses gilt dann f�r die Berechnung der
Verluste:
|
z
= ir �
zr
/ (ir - 1) |
Sonnenrad => Planetenrad (Planetentr�ger) |
|
z
=
zr |
Sonnenrad => Hohlrad |
|
z
= ir �
zr
/ (ir - 1 +
zr
) |
Planetenrad (Planetentr�ger) => Sonnenrad |
|
z
= -
zr
/ (ir - 1) |
Planetenrad (Planetentr�ger) => Hohlrad |
|
z
= -
zr
/ (ir - 1 - ir
�
zr) |
Hohlrad => Planetenrad (Planetentr�ger) |
|
z
=
zr
|
Hohlrad => Sonnenrad |
Bemerkung: Eine detaillierte und genaue Bestimmung der Verluste im
Planetenmechanismus ist aufwendig und von den detaillierten Kenntnissen der
Bauweise, der eingesetzten Werkstoffe und den Betriebsbedingungen abh�ngig. Die
Werte aus der Berechnung sind deshalb als Anhaltswerte zu betrachten.
Die Planetenzahnrads�tze bestehen aus einem System von Zahnr�dern und einem
Planetentr�ger. Die sogenannten Zentralzahnr�der sind gleichachsig mit dem
Planetentr�ger und der Zentralachse des �bersetzungmechanismus. Die
Planetenr�der sind dann Zahnr�der gedreht gelagert am Planetentr�ger und sind im
Eingriff mit den Zentralr�dern oder untereinander. Die Planetenr�der k�nnen eine
oder mehrere Verzahnungen haben. Zwei- und mehrstufige Planetenr�der haben
mehrere Konstruktionsvarianten mit gr��eren M�glichkeiten, sind aber
komplizierter und f�r die Fertigung teuerer.
Ein Beispiel eines einfachen Planetengetriebes mit einstufiger
Planetenradverzahnung ist unten angef�hrt. Dieser Grundtyp des Planetengetriebes
ist dann auch komplex in diesem Programm gel�st.
Einfaches Planetengetriebe (Differentialgetriebe):
0 � Sonnenrad; 1 � Planetentr�ger; 2 � Hohlrad; 3 � Planetenrad.
Wenn bei einem einfachen Planetengetriebe alle drei Grundelemente (0, 1, 2) frei
sind, handelt es sich um ein Differentialgetriebe (2 Freiheitsgrade), welches es
erm�glicht, zwei Bewegungen in eine zusammenzusetzen / zu zersetzen. Dieses wird
zum Beispiel bei Bearbeitungsmaschinen (Zusammensetzen) oder beim
Differentialgetriebe f�r Fahrzeuge (Bewegungszersetzung) genutzt.
Wenn mit dem Rahmen eines der Grundelemente (0 oder 2) verbunden, entsteht
ein Planetengetriebe (1 Freiheitsgrad) � ein Reduktor beim Antrieb in Richtung
des Sonnenrads oder ein Multiplikator beim Antrieb in Richtung des
Planetentr�gers. Wenn mit dem Rahmen der Planetentr�ger verbunden, handelt es
sich um ein normales Getriebe oder Vergleichsgetriebe.
Die Planetengetriebe k�nnen gegenseitig auf verschiedene Arten geschaltet
werden. Das h�ufigste Verfahren ist die Schaltung nacheinander, wo das gesamte
�bersetzungsverh�ltnis (Wirkungsgrad) durch ein Produkt der einzelnen
�bersetzungsverh�ltnisse (Wirkungsgrade) gegeben ist. Bei den zusammengesetzten
Getrieben wird sehr oft die M�glichkeit des Bremsens der einzelnen Elemente und
damit die Schaltung der Getriebestufen genutzt.
Vorteile:
� Platzeinsparung durch gleichachsige Anordnung der Antriebs- und
Abtriebswelle
� Niedrigeres Gewicht gegen�ber dem normalen Getriebe
� Hoher Wirkungsgrad auch bei gro�en zu �bertragenden Leistungen
� Niedrige radiale Belastung der Lager der Zentralelemente
� Kompakte Bauweise
Nachteile:
� Kompliziertere Bauweise, h�here Anforderungen an die Genauigkeit der
Fertigung und Montage
� H�here Herstellungskosten
� Einige begrenzende Bedingungen (Montierbarkeit)
Einsatz:
In Bezug auf die angef�hrten Vorteile erfolgt der Einsatz von
Planetengetrieben immer h�ufiger in einer ganzen Reihe von Bereichen (zum
Beispiel Getriebe von Kraftfahrzeugen, Baumaschinen, Hebevorrichtungen,
Schiffsgetriebe, Turbinenreduktoren etc.) H�ufig ist auch die Verbindung eines
Planetengetriebes mit einem Hydraulik- oder Reibungsgetriebe.
Konstruktion � Geometrieverh�ltnisse?
In den angef�hrten Formeln werden folgende Indexe verwendet.
F�r:
- Sonnenrad � 0
- f�r Planetenrad � 1
- f�r Hohlrad � 2
Unter Ber�cksichtigung der M�glichkeit von Montage und Funktion des
Planetenradsatzes ist es nicht m�glich, willk�rlich die Geometrie der Zahnr�der
zu w�hlen. F�r eine korrekte Funktion sind etliche Bedingungen zu verfolgen und
einzuhalten.
Bedingung der Gleichachsigkeit
Die Planetenr�der der Planetenzahnrads�tze greifen in die Sonnenr�der bzw. in
andere Planetenr�der ein. Im Fall dieser Berechnung kommt es zu einem
gemeinsamen Eingriff des Planetenrads mit den Sonnenr�dern (Planet, Hohlrad). Da
das Planetenrad eine gemeinsame Achse mit dem Hohlrad hat, muss der Achsabstand
zwischen den beiden Planetenr�dern und den beiden Sonnenr�dern gleich sein.
F�r allgemein korrigierte R�der gilt also, dass
aw (0,1) = aw (1,2)
wo
aw (0,1)=mt � (z0+z1)/2
� COS(alfat)/COS(alfawt(0,1))
wo
aw (1,2)=mt � (z1+z2)/2
� COS(alfat)/COS(alfawt(1,2))
Bemerkung: Im Programm wird die Verletzung dieser Bedingung mit einer
roten Hervorhebung der Zellen mit dem berechneten Achsabstand signalisiert.
Bedingung der Montierbarkeit:
F�r die einfachen Planetenr�der und f�r eine gleichm��ige Verteilung ist die
folgende Bedingung zu erf�llen:
g = (abs (z0) + abs (z2))/P
Wobei:
g � muss eine willk�rliche Ganzzahl sein
P � Anzahl Planetenr�der
z � Z�hnezahl
Bemerkung: Diese Bedingung muss stets erf�llbar sein (zum Beispiel im
Fall der Anforderung zum Erreichen des gesamten �bersetzungsverh�ltnisses).
Diese Bedingung kann man durch eine gleichm��ige Verteilung der Planetenr�der
umgehen, was zu gr��eren Anspr�chen an die Fertigung, die Unwucht des
Planetenradtr�gers, die Unwucht der Innenkr�fte und zu erh�hter Beanspruchung
f�hrt.
Bedingung des Spiels zwischen den benachbarten Planetenr�dern.
Diese Bedingung stellt ein Mindestspiel zwischen den Planetenr�dern vmin (1 -
2 mm, 0,05 in) sicher.
Maximale Anzahl von Planetenr�dern P = int(asin((da1+vmin)/(aw � 2)))
Bemerkung: Im Programm wird die Verletzung dieser Bedingung mit einer
roten Hervorhebung der Zellen mit der Anzahl der Planetenr�der signalisiert.
Geometrie.
Es handelt sich um eine standardm��ige Verzahnungsberechnung, bei der in eine
Zahnstange ein verzahntes Ritzel eingreift. Sowohl f�r das Ritzel, als auch f�r
die Zahnstange kann das Profil des Herstellungswerkzeuges definiert werden.
In der Berechnung kann die Anzahl der Z�hne vom Ritzel, der Eingriff- und
Zahnneigungswinkel gew�hlt werden. Da es in diesem Fall keinen Sinn hat, die
Zahnstange zu korrigieren, kann lediglich eine Korrektion des Ritzels gew�hlt
werden (Achsabstand, Verbesserung der Eingriffsbedingungen, Verbesserung der
Festigkeitsparameter).
Auswahl der Belastung.
In der Berechnung kann die Tangentialkraft eingegeben werden, was eigentlich
eine Kraft ist, mit der die Zahnstange auf das Ritzel wirkt, und die
Bewegungsgeschwindigkeit der Zahnstange (Umfangsgeschwindigkeit des Ritzels).
Aus diesen beiden Werten werden anschlie�end die �bertragene Leistung und das
Ritzeldrehmoment berechnet. Da die Zahnstange f�r eine Vielzahl von
unterschiedlichen Konstruktionsl�sungen angewendet werden kann, ist diese
nachzuberechnen (abzusch�tzen) und die �bersetzungsanforderungen auf diese zwei
Werte umzurechnen.
Festigkeitsberechnung.
Da es keine Normen f�r die Festigkeitsberechnung des Ritzels im Eingriff mit
einer Zahnstange gibt, wird f�r die Festigkeitsberechnung die Norm
ISO6336(ANSI/AGMA2001-D04) angewendet. Die Zahnstange ist hier durch ein Zahnrad
mit einer hohen Anzahl an Z�hnen (1000 Z�hne) ersetzt.
Radentlastungskoeffizient � kritische Drehzahl
Zur Festlegung der kritischen Drehzahl bei der Anwendung der Zahnstange gibt
es keine genaue Methodik. F�r eine grobe Sch�tzung kann eine Berechnung von zwei
Zahnr�dern angewendet werden (Ersatz der Zahnstange durch ein Zahnrad).
F�r eine leichte Zahnstange, die mit keiner Konstruktion verbunden ist,
benutzen Sie den Faktor sR/h=1, f�r eine mit einer Konstruktion verbundene
Zahnstange den Faktor 20.
Anzahl der Zyklen.
F�r die Bestimmung des Lebensdauerkoeffizienten (YNT, ZNT) muss die Anzahl
der Zyklen bekannt sein. Geben Sie die Anzahl der Belastungszyklen f�r das
Ritzel und f�r die Zahnstange ein.
In den folgenden Abs�tzen wird die Art der Belastungsf�higkeitsberechnung
beschrieben. F�r die Berechnung wird die Norm ISO6336:2006 angewendet. In der
Beschreibung werden die angewendeten Schl�sselformeln zum Verst�ndnis der
Berechnung und Bedienung dieses Programms angef�hrt. Dieser Text ersetzt
keinesfalls die vollst�ndige Lautung der angewendeten Normen.
This part of ISO 6336 presents the basic principles of, an introduction to,
and the general influence factors for, the calculation of the load capacity of
spur and helical gears.
Basic relations for the gears load
Ft = 2000 * T1,2 / d1,2 = 19098 * 1000 * P / (d1,2
* n1,2) = 1000 * P / v
w1,2 = 2000 * v / d1,2
= n1,2 / 9549
Ft ... (nominal) transverse tangential load at reference cylinder per mesh
T1,2 ... nominal torque at the pinion (wheel)
d1,2 ... reference diameter of pinion (wheel)
P ... transmitted power
n1,2 ... rotation speed of pinion (wheel)
v ... tangential velocity (without subscript, at the reference circle
=tangential velocity at pitch circle)
w1,2 ... angular velocity of
pinion (wheel)
Application factor KA
The application factor, KA, is used to modify the value of Ft to take into
account loads additional to nominal loads, which are imposed, on the gears from
external sources. The empirical guidance values in table B.1 ISO 6336-6 can be
used (for industry gears and high speed gears).
Internal dynamic factor KV
(The internal dynamic factor KV makes allowance for the effects of gear tooth
accuracy grade as related to speed and load.
There are three calculation methods (B2006), (C2006)
a (C1996).)
Die Methode B eignet sich f�r alle Typen von Stirnzahnr�dern. Sie ist relativ
kompliziert und bei einer ungeeigneten Auswahl des Materials und des
Genauigkeitsgrades im Hinblick auf die Belastung k�nnen die KV-Werte
unrealistisch sein. Methode C kann mit gewissen Einschr�nkungen angewendet
werden. Daher ist es m�glich, in der Berechnung die Obergrenze von KV
einzustellen (voreingestellt 5.0). Bei deren �berschreitung empfiehlt es sich,
das gew�hlte Material und den Genauigkeitsgrad im Hinblick auf die
Verzahnungsbelastung zu �berpr�fen.
Internal dynamic factor KV(B)
N = n1 / nE1
For N < NS (Subcritical range)
NS = 0.5 + 0.35 * ( Ft * KA / b )0.5
...... [ Ft * KA / b < 100 ]
NS = 0.85 ...... [ Ft * KA / b >= 100 ]
KV(B) = ( N * K ) + 1
K = ( CV1 * BP ) + ( CV2 * Bf ) + (
CV3 * BK )
BP = c' * fpb eff / ( Ft
* KA / b )
Bf = c' * fta
eff / ( Ft * KA / b )
BK = abs (1 + c' * Ca / ( Ft
* KA / b ))
For Ns < N < 1.15 (Main
resonance range)
KV(B) = ( CV1 * BP ) + ( CV2
* Bf ) + ( CV4 * BK )
+ 1
For N >= 1.5 (Supercritical range)
KV(B) = ( CV5 * BP ) + ( CV6
* Bf ) + CV7
For 1.15 < N < 1.5 (Intermediate range)
KV(B) = KV(N=1.5) + (
KV(N=1.15) - KV(N=1.5)) / 0.35 * (1.5 - N)
Coeficients
|
|
1.0 < eg
<=2.0 |
eg
> 2.0 |
| CV1 |
0.32 |
0.32 |
| CV2 |
0.34 |
0.57 / (eg
- 0.3) |
| CV3 |
0.23 |
0.096 / (eg
- 1.56) |
| CV4 |
0.90 |
(0.57 - 0.05 *
eg ) / (eg
- 1.44) |
| CV5 |
0.47 |
0.47 |
| CV6 |
0.47 |
0.12 / (eg
- 1.74) |
| CV7 |
1.0 < eg
<=1.5 |
0.75 |
| CV7 |
1.5 < eg
<=2.5 |
0.125 * sin(p
* (eg
- 1.74)) + 0.875 |
| CV7 |
eg
> 2.5 |
1.0 |
| Cay1,2 |
1 / 18 * (sHlim1,2
/ 97 - 18.45)2 + 1.5 |
| Cay |
0.5 * (Cay1 + Cay2) |
| Ca |
Ca = Cay |
Internal dynamic factor KV(C)
Method C supplies average values which can be used for industrial
transmissions and gear systems with similar requirements in the following fields
of application:
- subcritical running speed range i.e. (v * z1 / 100) * (u2
/ (1 + u2))0.5 < 10 m/s
- external and internal spur gears
- basic rack profile as specified in ISO 53
- straight and helical spur gears with b <= 30
- pinion with relatively low number of teeth z1 < 50
- solid disc wheels or heavy steel gear rim
Method C can also generally be used, with restrictions for the following
fields of application:
- all types of cylindrical gears, if (v * z1 / 100) *
(u2 / (1 + u2))0.5 < 3 m/s
- For lightweight gear rim and helical gears where b
> 30 are values unfavourable (Thus, calculated values tend to be safe).
Method (C2006) is different from (C1996) by adding the
coefficient K3.
Example for input values KA * Ft / b = 100; v = 3 m / s; Q = 7 and straight
teeth.
1996.gif)
2006.gif)
KV(C..1996)
KVa,b = 1 + (K1 / ( Ft * KA
/ b ) + K2) * v * z1 / 100 * (u2 / (1 + u2))0.5
... [ eb
= 0; eb
>= 1.0]
KV(C..2006)
KVa,b = 1 + (K1 / ( Ft * KA
/ b ) + K2) * v * z1 / 100 * K3 * (u2 / (1 + u2))0.5
... [ eb
= 0; eb
>= 1.0]
KV = KVa
- ea*
( KVa - KVb
) ... [0 < eb
< 1.0]
Coeficients
| |
K1 (Accuracy grades as speclfled in ISO1328-1) |
K2 |
| |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
All |
| Spur gears eb
= 0 |
2.1 |
3.9 |
7.5 |
14.9 |
26.8 |
39.1 |
52.8 |
76.6 |
102.6 |
146.3 |
0.0193 |
| Helical gears eb
>=1.0 |
1.9 |
3.5 |
6.7 |
13.3 |
23.9 |
34.8 |
47.0 |
68.2 |
91.4 |
130.3 |
0.0087 |
| SRC = v * z1 / 100 * (u2 / (1 + u2))0.5 |
| K3 = 2.0 ...... [SRC
<= 0.2] |
| K3 = -0.357 * SRC +
2.071 ...... [SRC > 0.2] |
Main resonance of a gear
pair NE1
nE1 = 30000 / ( p
* z1 ) * ( cga / mred
)0.5
where:
mred = m*1 * m*2 / ( m*1
+ m*2 )
m*1,2 = J*1,2 / (rb 1,2)2
[kg/mm]
J*1,2 = J1,2 / b1,2
cga = c'
* (0.75 * ea
+ 0.25)
c' = c'th * CM * CR * CB * CE
* CFK * cos(b)
c'th = 1 / (0.04723 + 0.15551/zn1 + 0.25791/zn2
- 0.00635*x1 - 0.11654*x1/zn1 - 0.00193*x2
- 0.24188*x2/zn2 + 0.00529*x12 +
0.00182*x22)
c'th = 1 / (0.04723 + 0.15551/zn1 - 0.00635*x1 - 0.11654*x1/zn1 - 0.00193*x2 + 0.00529*x12 +
0.00182*x22) ... for internal gearing
CM = 0.8
CR = 1 + ln(bs / b) / (5 * e(sR/(5 * mn)))
...... [0.2 < bs < 1.2 ]
CB = 0.5 * (CB1 + CB2); CB1,2 = (1 +
0.5 * (1.2 - hf1,2 / mn)) * (1 - 0.02*(20 -
aPn))
CE = (( 2 * E1 * E2 ) / ( E1 + E2
)) / 206
CFK = (( Ft * KA / b ) / 100 )0.25......
[ CFK<= 1.0 ]
zn1,2 = z1,2 / cos(b)3
Main resonance of gear with idler gears, inner gears and planet gears are
calculated by different process. Details in ISO6336-1.
Coefficient KHb (KFb)
This coefficient takes into account the effect of the non-uniform
distribution of load over the gear face. Uneven load distribution is caused by
an elastic deformation of gears and housing, manufacturing deviations and
thermal distortion. Methods, principles and assumptions are given in standard
ISO6336-1. Because the determination of the coefficient is dependent on a number
of factors and primarily on the specific dimensions and design of the gearbox,
is for the design purposes selected the coeficient KHb
from graphs based on practical experiences. The calculation is in paragraph
[18].
Determination KHb (method C)
Detail description is in ISO6336-1. Here is just a selection of formulas,
information and comments that are related to the calculation KHb.
a) KHb = (2 * Fby * cgb
/ (Fm / b))0.5 ...... [ Fby
* cgb / (2 * Fm / b) >= 1.0;
KHb >= 2.0 ]
b) KHb = 1 + Fby * cgb
/ (2 * Fm / b) ...... [ Fby
* cgb / (2 * Fm / b) < 1.0;
KHb > 1.0 ]
where:
Fm = Ft * KA * KV
Fby = Fbx * yb
cgb = 0.85 * cga
b ...... gear width
yb ... Running-in allowance from graph
where:
1) Fbx = Choosing your own values
2) Fbx = 1.33 * B1 * fsh
+ B2 * fma ....... [ Fbx >= Fbxmin
]
3) Fbx = abs( 1.33 * B1 * fsh - fHb6)
...... [ Fbx >= Fbxmin
]
4) Fbx = 1.33 * B1 * fsh +
fsh2 + fma + fca +fbe
where:
B1, B2 coeficients, table 8, ISO6336-1
fHb6 ... Helix slope deviation for Q=6,
ISO1328-1
fsh ... Component of equivalent misatignment. It is possible to use several
methods (calculation, measurement, estimation). Used formula:
fsh = Fm / b * 0.023 * (abs(B' + K'
* l * s / d12 * (d1 / dsh)4 - 0.3) + 0.3) * (b / d1)2
... [s / l < 0.3]
fsh = Fm / b * 0.046 * (abs(B' + K'
* l * s / d12 * (d1 / dsh)4 - 0.3) + 0.3) * (bB / d1)2
... [s / l < 0.3]
fsh2, fca, fbe ... can be determined by ISO6336-1
B' = 1.0 ... for both spur and single helical gears, for the total transmitted
power
K' = arrangement coefficient, gray indicates the less deformed helix of a double
helical gear
| K' |
with stiffening |
without stiffening |
| A |
0.48 |
0.80 |
| B |
-0.48 |
-0.80 |
| C |
1.33 |
1.33 |
| D |
-0.36 |
-0.60 |
| E |
-0.60 |
-1.00 |
l, s .... picture
dsh ... shaft diameter
fma ... mesh misalignment. It is possible to use several
methods (calculation, measurement, estimation). Used formula:
fma = (fHb12 + fHb22)0.5
.
Determination KHb (Simplified formula)
a) KHb = Acoef * (2 * Fby * cgb
/ (Fm / b))0.5 ...... [ Fby
* cgb / (2 * Fm / b) >= 1.0;
KHb > 1.0 ]
b) KHb = Acoef * (1 + Fby * cgb
/ (2 * Fm / b)) ...... [ Fby
* cgb / (2 * Fm / b) < 1.0;
KHb > 1.0 ]
where:
Fm = Ft * KA * KV
Fby = Fb * 0.8
..... [Fb from ISO 1328]
cgb = 0.85 * cga
b ...... gear width
Acoef = 1.0 ..... Double-sided symmetrically supported gearing
Acoef = (0.9 + 0.15 * (b1 / d1)2 + 0.23 * (b1 / d1)3)
..... Double-sided non-symmetrically supported gearing
Acoef = (0.9 + (b1 / d1)2) ..... Overhung gearing
Determination KHb (Approximation from the table)
For the preliminary design is possible to use values from these graphs.
X Axis: Ratio gear width to gear diameter
Y Axis: Factor KHb ..... [min. value = 1.05]
Accuracy grade 7
Not-hardended gears, VHV<370, design type A-F ... calculation paragraph [2.0]
Hardended gears, VHV<=370, design type A-F ... calculation paragraph [2.0]
Coefficient KFb
KFb = ( KHb )NF
NF = (b / h)2 / (1 + b / h + (b / h)2) ...... [kdy�
b / h < 3; pak b / h = 3] ([if b / h < 3; then b / h = 3])
The smaller of the values b1/h1, b2/h2
is to be used as b/h.
Coefficient KHa
(KFa)
KHa = KFa =
eg
/ 2 * (0.9 + 0.4 * (cga
* (fpb - ya)) / (FtH
/ b)) ...... [eg
<= 2.0]
KHa = KFa =
0.9 + 0.4 * (2.0 * (eg
- 1.0) / eg)0.5
* cga * (fpb
- ya) / (FtH /
b) ...... [eg
> 2.0]
Pro: (For:)
KHa >
eg
/ (
ea
* Ze2)
...... KHa =
eg
/ (
ea
* Ze2)
KHa <
1.0 ...... KHa
= 1.0
Pro: (For:)
KFa >
eg
/ (0.25 *
ea
+ 0.75) ...... KFa =
eg
/ (0.25 *
ea
+ 0.75)
KFa <
1.0 ...... KFa
= 1.0
fpb = fpt (ISO1328-1)
ya ... Material: St, St(cast),
V, V(cast), GGG(perl.), GGG(bai.), GTS(perl.)
ya = fpb * 160 /
σHlim [ v < 5m/s ]
ya
<= 12800 / σHlim [ 5m/s < v <= 10m/s ]
ya
<= 6400 / σHlim [ v > 10m/s ]
ya ... Material: GG,
GGG(ferr.)
ya = fpb 0.275
[ v < 5m/s ]
ya
<= 22 [ 5m/s < v <= 10m/s ]
ya
<= 11 [ v > 10m/s ]
ya ... Material:
Eh, IF, NT(nitr.), NV(nitr.), NV(nitrocar.)
ya = fpb 0.075
[ ya
<= 3 ]
This part of ISO 6336 specifies the fundamental formulae for use in the
determination of the surface load capacity of cylindrical gears with involute
external or internal teeth. It includes formulae for all influences on surface
durability for which quantitative assessments can be made. lt applies primarily
to oil-lubricated transmission, but can also be used to obtain approximate
values for (slow-running) grease-lubricated transmissions, as long as sufficient
lubricant is present in the mesh at all times.
Safety factor for surface durability (against pitting), SH
Calculate SH
separately for pinion and wheel:
SH1,2 = σHG1,2
/ σH1,2 > SHmin
Contact stress σH
σH1 = ZB * σH0 * (KA * KV * KHb
* KHa)0.5
σH2 = ZD * σH0 * (KA * KV * KHb
* KHa)0.5
The
nominal contact stress at the pitch point σH0
σH0 = ZH * ZE * Ze
* Zb * (Ft / (b * d1)
* (u + 1) / u)0.5
Permissible contact
stress σHP: Method B
σHP = ZL * ZV * ZR * ZW
* ZX * ZNT * σHlim / SHmin = σHG
/ SHmin
The pitting stress limit σHG
σHG = σHP * SHmin
Zone factor ZH
ZH = (2 * cos(bb) *
cos(awt) / (cos(at)2
* sin(awt)))0.5
Single
pair tooth contact factors ZB and ZD
M1 = tan(awt) /
((((da1 / db1)2 - 1.0)0.5 - 2 *
p / z1) * (((da2 / db2)2
- 1.0)0.5 - (ea
- 1.0) * 2 * p / z2))0.5
M2 = tan(awt) /
((((da2 / db2)2 - 1.0)0.5 - 2 *
p / z2) * (((da1 / db1)2
- 1.0)0.5 - (ea
- 1.0) * 2 * p / z1))0.5
Spur gears with, ea
> 1.0
ZB = 1.0 ... [ M1<= 1.0 ]
ZB = M1 .... [ M1 > 1.0 ]
ZD = 1.0 ... [ M2<= 1.0 ]
ZD = M2 .... [ M2 > 1.0 ]
Helical gears with, eb
>= 1.0
ZB = ZD = 1.0
Helical gears with, eb
< 1.0
ZB = M1 - eb
* (M1 - 1.0) ... [ ZB >= 0 ]
ZD = M2 - eb
* (M2 - 1.0) ... [ ZD >= 0 ]
(For internal
gears, ZD shall be taken as equal to 1.0)
Elasticity factor ZE
ZE = (p * ((1.0 -
n12) / E1 +
(1 - n22) / E2))-0.5
where:
n1,2 ... Poisson's ratio
E1,2 ... modulus of elasticity
Contact ratio factor Ze
Ze = ((4.0 -
ea)
/ 3 * (1.0 - eb)
+ eb
/ ea)0.5
... [ 0 <= eb
< 1.0 ]
Ze = (1.0 /
ea)0.5
... [ eb
>= 1.0 ]
Helix
angle factor, Zb
Zb = 1 / (cos(b))0.5
Life factor ZNT
X axis ... number of cycles
Y axis ... ZNT
Lubricant factor ZL
ZL = CZL + 4 * (1.0 - CZL) / (1.2 + 80 /
n50)2 = CZL
+ 4 * (1.0 - CZL) / (1.2 + 134 / n40)2
CZL = 0.83 ... [ σHlim < 850 ]
CZL = σHlim / 4375 + 0.6357 ... [
850 <= σHlim <= 1200 ]
CZL = 0.91 ... [ 1200 < σHlim ]
n50 (
n40) ... Nominal viscosity in 50�C (40�C) [mm2/s]
Diagram viscosity / temperature for viscosity index VI = 50
Velocity factor ZV
ZV = CZV + 2 * (1.0 - CZV) / (0.8 + 32 / v)0.5
CZV = CZL + 0.02
Roughness factor, ZR
ZR = (3 / Rz10)CZR
CZR = 0.15 ... [ σHlim < 850 ]
CZR = 0.32 - 0.0002 * σHlim ... [
850 <= σHlim <= 1200 ]
CZR = 0.08 ... [ 1200 < σHlim ]
Rz10 = Rz * (10 / rred)(1/3)
rred = (r1
* r2) / (r1
+ r2)
r1,2 = 0.5 * db1,2 *
tan(awt)
Work hardening factor, ZW
The work hardening factor, ZW takes account of the increase in the
surface durability due to meshing a steel wheel (structural steel,
through-hardened steel) with a hardened or substantially harder pinion with
smooth tooth flanks.
Pinion Surface-hardened, Gear through-hardened
ZW = 1.2 * (3 / RzH)0.15 ... [ HB < 130 ]
ZW = (1.2 - (HB - 130) / 1700) * (3 / RzH)0.15
... [ 130 <= HB <= 470 ]
ZW = (3 / RzH)0.15 ... [ HB > 470 ]
ZW for static stress
ZW = 1.05 ... [ HB < 130 ]
ZW = 1.05 - (HB - 130) / 680 ... [ 130 <= HB <= 470 ]
ZW = 1.0 ... [ HB > 470 ]
RzH = Rz1 * (10 / rred)0.33
* (Rz1 / Rz2)0.66) / (
n40 * v / 1500)0.33)
... [ 3 <= RzH <=16 ]
Through-hardened pinion and gear
ZW = 1.0 ... [ HB1/HB2 < 1.2 ]
ZW = 1.0 + A * (u - 1.0) ... [ 1.2 <= HB1/HB2
<= 1.7 ]
ZW = 1.0 + 0.00698 * (u - 1.0) ... [ 1.7 < HB1/HB2
]
A = 0.00898 * HB1/HB2 - 0.00829
ZW for static stress
ZW = 1.0
This part of ISO 6336 specifies the fundamental formulae for use in tooth
bending stress calculations for involute external or internal spur and helical
gears with a rim thickness sR > 0.5 * ht for external
gears and sR >1.75 * mn for internal gears.
Safety factor for bending strength (safety against tooth breakage), SF
Calculate SF
separately for pinion and wheel:
SF1,2 = σFG1,2
/ σF1,2 >= SFmin
Tooth root stress σF
σF = σF0 * KA * KV * KFb
* KFa
The nominal tooth root
stress σF0
σF0 = Ft / (b * mn) * YF * YS
* Yb * YB * YDT
Permissible bending stress σFP : Method B
σFP = σFlim * YST * YNT
* YdrelT * YRrelT * YX / SFmin = σFG / SFmin
Tooth root stress limit σFG
σFG = σFP * SFmin
The form factor, YF : Method B
YF = (6 * hFe / mn * cos(aFen))
/ ((sFn / mn)2 * cos(an))
Tooth root normal chord sFn
; radius of root fillet rF ;
bending moment arm hFe
Dimensions and basic rack profile of the teeth (finished profile)
A...without undercut
B...with undercut
auxiliary values
E = p / 4 * mn - hfP
* tan(an) + spr / cos(an)
- (1 - sin(an) * rfP
/ cos(an)
spr = pr - q
spr = 0 when gears are not undercut
rfPv = rfP
... external gears
rfPv = rfP
+ mn * (x0 + hfp/mn - rfP/mn)1.95
/ (3.156 * 1.036z0) ... internal gears
x0 ... the pinion-cutter shift coefficient
z0 ... the number of teeth of the pinion cutter
G = rfPv / mn - hfP
/ mn + x
H = 2 / zn * (p / 2 - E / mn)
- T
T = p / 3 ... external gears
T = p / 6 ... internal gears
q = 2 * G / zn * tan(q)
- H
Determination of normal chordal dimensions of tooth root critical section for
Method B
A...external gears
B...internal gears
Tooth root normal chord sFn
sFn / mn = zn * sin(p/3 - q) + (3)0.5 * (G / cos(q)
- rfPv / mn) ...
external gears
sFn / mn = zn * sin(p/6 - q)
+ (G / cos(q)
- rfPv / mn) ...
internal gears
Radius of root fillet rF
rF / mn
= rfPv / mn + 2 * G2
/ (cos(q) * (zn * cos(q)2
- 2 * G))
Bending moment arm hFe
hFe / mn = 0.5 * ((cos(ge)
- sin(ge) * tan(aFen))
* den / mn - zn * cos(p/3
- q) - G / cos(q)
+ rfPv / mn)) ...
external gears
hFe / mn = 0.5 * ((cos(ge)
- sin(ge) * tan(aFen))
* den / mn - zn * cos(p/6
- q) - (3)0.5 * (G / cos(q)
- rfPv / mn))) ...
internal gears
Parameters of virtual gears
bb = arcsin(sin(b)
* cos(an))
zn = z / (cos(bb))3
ean=
ea / (cos(bb))2
dn = mn * zn
pbn = p * mn *
cos(an)
dbn = dn * cos(an)
dan = dn + da - d
den = 2 * z / abs(z) * ((((dan / 2)2 - (dbn
/ 2)2)0.5 - p * d *
cos(b) * cos(an)
* (ean - 1) / abs(z))2
+ (dbn / 2)2)0.5
*The number of teeth z is positive for external gears and negative for
internal gears
aen = arccos(dbn /
den)
ge = (0.5 * p
+ tan(an) * x) / zn +
inv(an) - inv(aen)
aFen = aen
- ge
Stress correction factor YS
The stress correction factor YS is used to convert the nominal
tooth root stress to local tooth root stress.
YS = (1.2 + 0.13 * L) * qs(1 / (1.21 + 2.3 / L))
L = SFn / hFe
qs = SFn / (2 * rF)
Stress correction factor for gears with notches in fillets YSg
YSg = 1.3 * YS / (1.3 - 0.6 * (tg /
rg)0.5)
... [ (tg / rg)0.5
< 2.0 ]
Helix
angle factor Yb
Yb = 1 -
eb
* b / 120 ... [if b
> 30; b = 30]
Rim thickness factor YB
external gears
YB = 1.0 ... [sR / ht >= 1.2]
YB = 1.15 * ln(8.324 * mn / sR) ... [0.5 < sR
/ ht < 1.2]
internal gears
YB = 1.0 ... [sR / mn >= 3.5]
YB = 1.6 * ln(2.242 * ht / sR) ... [1.75 < sR
/ mn < 3.5]
Deep tooth factor YDT
YDT = 1.0 ... [ean
<= 2.05] or [accuracy grade > 4]
YDT = -0.666 * ean
+ 2.366 ... [2.05 < ean
<= 2.5] and [accuracy grade <= 4]
YDT = 0.7 ... [ean
> 2.5] and [accuracy grade <= 4]
Life factor YNT
X axis ... number of cycles
Y axis ... YNT
Relative notch sensitivity factor YdrelT
for reference stress
YdrelT = Yd
/ YdT = (1 + (r'
* c*)0.5)
/ (1 + (r'
* cT*)0.5)
c* =
cP*
* (1 + 2 * qs)
cP*
= 1 / 5 = 0.2
cT*
= cP*
* (1 + 2 * 2.5)
Material: GG [σB=150MPa], GG, GGG(ferr.)[σB=300MPa]
r'
= 0.31
Material: NT, NV
r'
= 0.1005
Material: St, V, GTS, GGG(perl.), GGG(bai.)
r'
=
MAX(MIN(13100 / Rp0.2(2.1) - (MAX(600;Rp0.2)-600)(0.35)
/ 1600;0.32);0.0014)
Material: Eh, IF(root)
r'
= 0.003
Relative notch sensitivity factor YdrelT
for static stress
Material: St, V, GGG(perl.), GGG(bai.)
YdrelT = (1 + 0.82 * (YS
- 1) * (300 / σ0.2)(1/4)) / (1 + 0.82 * (300 / σ0.2)(1/4))
Material: Eh, IF, IF(root)
YdrelT = 0.44 * YS +
0.12
Material: NT, NV
YdrelT = 0.20 * YS +
0.60
Material: GTS
YdrelT = 0.075 * YS +
0.85
Material: GG, GGG(ferr.)
YdrelT = 1.0
Relative surface factor YRrelT for reference stress
Rz < 1 mm
Material: V, GGG(perl.), GGG(bai.), Eh, IF
YRrelT = 1.12
Material: St
YRrelT = 1.07
Material: GG, GGG(ferr.), NT, NV
YRrelT = 1.025
1mm < Rz < 40 mm
Material: V, GGG(perl.), GGG(bai.), Eh, IF
YRrelT = 1.674 - 0.529 * (Rz + 1)0.1
Material: St
YRrelT = 5.306 - 4.203 * (Rz + 1)0.01
Material: GG, GGG(ferr.), NT, NV
YRrelT = 4.299 - 3.256 * (Rz + 1)0.0058
Relative surface factor YRrelT for static stress
YRrelT = 1.0
Size factor YX
YX = 1.0 ... All materials for static stress
YX ... Material: St, St(cast),
V, V(cast), GGG(perl.), GGG(bai.), GTS(perl.)
YX = 1.0
... [ mn <= 5 ]
YX = 1.03 - 0.006 * mn
... [ 5 < mn < 30 ]
YX = 0.85 ... [ mn >=
30 ]
YX ... Material:
Eh, IF(root), NT, NV, NT(nitr.), NV(nitr.), NV(nitrocar.)
YX = 1.0
... [ mn <= 5 ]
YX = 1.05 - 0.01 * mn
... [ 5 < mn < 25 ]
YX = 0.80 ... [ mn >=
25 ]
YX ... Material: GG,
GGG(ferr.)
YX = 1.0
... [ mn <= 5 ]
YX = 1.075 - 0.015 * mn
... [ 5 < mn < 25 ]
YX = 0.70 ... [ mn >=
25 ]
This part of ISO 6336 describes contact and tooth-root stresses, and gives
numerical values for both limit stress numbers. It specifies requirements for
material quality and heat treatment and comments on their influences on both
limit stress numbers.
The allowable stress numbers, σH lim, and the nominal stress numbers, σF lim,
can be calculated by the following equation:
a) σHlim = A * x + B
b) σFlim = A * x + B
where x is the surface hardness HBW or HV and A, B are constants
Requirements for material quality and heat treatment
The three material quality grades ML, MQ and ME, stand in relationship to
- ML stands for modest demands on the material quality and on the material heat
treatment process during gear manufacture.
- MQ stands for requirements that can be met by experienced manufacturers at
moderate cost.
- ME represents requirements that must be realized when a high degree of
operating reliability is required
In this calculation, except σHlim and σFlim, are proposed other material
parameters that are necessary for calculating the gearing. The values of Ro, E
and Poisson constant are commonly available. For the proposal of the tensile strength Rm
and yield strength Rp0.2 was used information from the ISO 1265 and specialized
literature. Parameters for the time-strength curves were obtained from ISO6336-2
and 3. These curves can be seen in a small graph in the calculation.
All calculated values are design and based on empirical experience. The exact
values for a concrete material you can obtain from your manufacturer or from
material tests.
Hardness notice
Values HB for HB<=450 steel ball, HB>450 carbide ball
Values HB used recalculation HB=HV-HV/20
Values HRC used recalculation HRC=(100*HV-14500)/(HV+223)
Fundamental Rating Factors and Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gear Teeth ANSI/AGMA 2001-D04
dynamic factor, Kv
Kv = (C / (C + vt))−B
C = 50 + 56 * (1.0 − B) ... [ 6 ≤ Av ≤ 12 ]
B = 0.25 * (Av − 5.0)0.667
vt max = [C + (14 − Av)]2
Overload factor, Ko
The empirical guidance values from table B.1 ISO
6336-6 are used.
Elastic coefficient, Cp
Cp = (1 / p
* (((1 - mP2)
/ EP) + ((1 - mG2) /
EG)))0.5 ... [lb/in2]0.5
mP and mG
is Poisson�s ratio for pinion and gear, respectively; EP and EG is
modulus of elasticity for pinion and gear [lb/in2].
Surface condition factor, Cf
Cf = 1.0
Hardness ratio factor, CH
Through hardened gears
CH = 1.0 + A * (mG - 1.0)
A = 0.00898 *(HBP / HBG) - 0.00829
HBP is pinion Brinell hardness number [HB]; HBG is gear Brinell hardness
number,[HB].
This equation is valid for the range 1.2 ≤ HBP / HBG ≤ 1.7 For HBP / HBG < 1.2,
A = 0.0 HBP / HBG > 1.7, A = 0.00698
Surface hardened/through hardened values
CH = 1.0 + B * (450 - HBG)
B = 0.00075 * (2.71828)-0.0112 * (fp)
fp is surface finish of pinion, microinches, Ra
if fp>64 ... CH = 1.0
Load distribution factor, Km
Km = f (Cmf, Cmt)
Km = Cmf
Face load distribution factor, Cmf
Cmf = 1.0 + Cmc * (Cpf *
Cpm + Cma * Ce)
Cmc is 1.0 for gear with unmodified leads; Cmc is 0.8 for gear with leads
properly modified by crowning or lead correction.
Cpf = F / (10 * d) − 0.025 ... [F<=1.0]
Cpf = F / (10 * d) − 0.0375 + 0.0125 * F ... [1.0<F<=17.0]
Cpf = F / (10 * d) − 0.1109 + 0.0207 * F − 0.000228 * F2 ...
[17.0<F<=40.0]
Cpm = 1.0 ... [S1 / S < 0.175]
Cpm = 1.1 ... [S1 / S >= 0.175]
Cma = A + B * F + C * F2
| |
A |
B |
C |
| 1�Open gearing |
0.247 |
0.0167 |
-0.0000765 |
| 2�Commercial enclosed
gearboxes |
0.127 |
0.0158 |
-0.0001093 |
| 3�Precision enclosed
gearbox |
0.0675 |
0.0128 |
-0.0000926 |
| 4�Extra precision
enclosed gearbox |
0.038 |
0.0102 |
-0.0000822 |
Ce = 0.8 ... [gearing is adjusted at assembly; gearing is
improved by lapping]
Ce = 1.0 ... [for all other conditions]
Reliability factor, KR
KR = 1.50 [Fewer than one failure in 10 000]
KR = 1.25 [Fewer than one failure in 1000]
KR = 1.00 [Fewer than one failure in 100]
KR = 0.85 [Fewer than one failure in 10]
KR = 0.70 [Fewer than one failure in 2]
Rim thickness factor, KB
KB = 1.6 * ln(2.242 / mB) ... [for mB<1.2]
KB = 1.0 ... [for mB>=1.2]
mB = tR / ht
tR is gear rimthickness below the tooth root
[in]; ht is gear
tooth whole depth [in]
Pitting resistance
The contact stress number formula for gear teeth is:
sc = Cp (Wt
* Ko * Kv * Ks
* Km * Cf / (d
* F * I))0.5
Allowable contact stress number
The relation of calculated contact stress number to allowable contact stress
number is:
sc ≤ (sac * ZN
* CH) / (KT
* SH * KR)
Pitting resistance power rating
The pitting resistance power rating is:
Pac = (p
* np * F
/ 396 000) * I / (Ko
* Kv * Ks * Km
* Cf) * ((d * sac
* ZN CH) / (Cp
* SH * KT *
KR))2
Safety coefficient for surface durability
SH = sac / sc * (ZN
* CH) / (KT * KR)
Bending strength
The fundamental formula for bending stress number in a gear tooth is:
st = Wt * Ko * Kv
* Ks * (Pd
* Km * KB
/ (F * J))
Allowable bending stress number
The relation of calculated bending stress number to allowable bending stress
number is:
st ≤ (sat * YN)
/ (SF * KT *
KR)
Bending strength power rating
The bending strength power rating is:
Pat = (p
* np * F
/ 396 000) * (F * J) / (Ko
* Kv * Pd *
Ks * Km * KB) * (sat
* YN)
/ (SF * KT
* KR)
Safety coefficient for bending strength
SF = sat / st * YN /
(KT *
KR)
Transmitted tangential load
Wt = 33000 * P / vt = 2 * T / d = 396000 * P / (p
* np * d)
P is transmitted power [hp];
T is transmitted pinion torque [lb*in];
vt is pitch line velocity at operating pitch diameter,
[ft/min]
vt = p
* np * d / 12
Allowable stress numbers, sac and sat ANSI / AGMA
2001-D04
This part of ANSI / AGMA
2001-D04 describes the allowable stress numbers sac and sat, for pitting
resistance and bending strength.
Allowable stress numbers in this standard are determined or estimated from
laboratory tests and accumulated field experiences. They
are based on unity overload factor, 10 million stress cycles, unidirectional
loading and 99 percent reliability. For service life other than 10
million cycles, the allowable stress numbers are adjusted by the use of stress
cycle factors YN and ZN
The allowable stress numbers sac and sat can be calculated by the following equation:
a) sac = A * x + B
b) sat = A * x + B
where x is the surface hardness HBW and A, B are constants
Requirements for material quality and heat treatment.
These requirements are specified in this standard and are divided in three
material quality grades 1,2 an 3.
In this calculation, except sac and sat, are proposed other material
parameters that are necessary for calculating the gearing. The values of p, E
and Poisson constant are commonly available. For the proposal of the tensile
strength Rm and yield strength Rp0.2 was used information from the ISO 1265 and
specialized literature.
All calculated values are design and based on empirical experience. The exact
values for a concrete material you can obtain from your manufacturer or from
material tests.
Hardness notice
Values HB for HB<=450 steel ball, HB>450 carbide ball
Values HB used recalculation HB=HV-HV/20
Values HRC used recalculation HRC=(100*HV-14500)/(HV+223)